Question

6．如图，已知：点P是△ABC内一点．
（1）说明∠BPC＞∠A；
（2）若PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，∠A=40°，求∠P的度数．

Answer 1

分析 （1）延长BP交AC于D，根据△PDC外角的性质知∠BPC＞∠1；根据△ABD外角的性质知∠1＞∠A，所以易证∠BPC＞∠A．
（2）由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=140°，由角平分线和三角形内角和定理即可得出结果．

解答 （1）证明：延长BP交AC于D，如图所示：
∵∠BPC是△CDP的一个外角，∠1是△ABD的一个外角，
∴∠BPC＞∠1，∠1＞∠A，
∴∠BPC＞∠A；
（2）解：在△ABC中，∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACB，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
在△ABC中，∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（$\frac{1}{2}$∠ABC+$\frac{1}{2}$∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$×140°=110°．

点评 此题主要考查了三角形的外角性质、三角形内角和定理、三角形的角平分线定义；熟练掌握三角形的外角性质和三角形内角和定理是解决问题的关键．