题目内容

如图，直线 y=kx-2（k＞0）与双曲线y= $数学公式$ 在第一象限内的交点为R，与x轴的交点为P，与y轴的交点为Q；作RM⊥x轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，求k．

解：设R（m，n），则mn=k；
连接OR，则△ORM的面积等于 $\text{[math]}$ ，
∵△OPQ与△PRM的面积之比为4：1，且△OPQ∽△PRM，
∴OQ：RM=OP：PM=2：1，
令y=kx-2中x=0，解得y=-2，即OQ=2；令y=0，解得x= $\text{[math]}$ ，即OP= $\text{[math]}$ ，
∴RM=n=1，∴OM= $\text{[math]}$ OP，即OM=m= $\text{[math]}$ ，
∴R（ $\text{[math]}$ ，1），
∴mn= $\text{[math]}$ ×1=k，
解得：k=± $\text{[math]}$ ，
∵k＞0，
∴k= $\text{[math]}$ ．
分析：连接OR，由反比例系数k的意义得到三角形ORM的面积等于 $\text{[math]}$ k，再由三角形OPQ与三角形PRM面积之比为4：1，且两三角形相似，得到相似比为2：1，令y=kx-2中y=0，求出x的值，确定出OP的长，令x=0求出y的值，确定出OQ的长，由相似比为2：1，求出RM的长，即为R的纵坐标，由OP=2PM，得到OP为OM的 $\text{[math]}$ ，表示出OM，即为R的横坐标，确定出R的坐标，将R坐标代入反比例解析式中得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，以及反比例函数系数k的几何意义，是一道综合性较强的试题．