Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，DA⊥AB，DO及DO的延长线与⊙O分别相交于点E、F，EB与CF相交于点G．
（1）求证：DA=DC；
（2）⊙O的半径为3，DC=4，求CG的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵DC是⊙O切线，
∴OC⊥DC，
∵OA⊥DA，
∴∠DAO=∠DCO=90°，
在Rt△DAO和Rt△DCO中

∴Rt△DAO≌Rt△DCO（HL），
∴DA=DC．

（2）解：连接BF、CE、AC，
由切线长定理得：DC=DA=4，DO⊥AC，
∴DO平分AC，
在Rt△DAO中，AO=3，AD=4，由勾股定理得：DO=5，
∵由三角形面积公式得：DA•AO=DO•AM，
则AM=，
同理CM=AM=，
AC=．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
由勾股定理得：BC==．
∵∠GCB=∠GEF，∠GFE=∠GBC，（圆周角定理）
∴△BGC∽△EGF，
∴===，
在Rt△OMC中，CM=，OC=3，由勾股定理得：OM=，
在Rt△EMC中，CM=，ME=OE-OM=3-=，由勾股定理得：CE=，
在Rt△CEF中，EF=6，CE=，由勾股定理得：CF=．
∵CF=CG+GF，=，
∴CG=CF=×=．
分析：（1）连接OC，∠DAO=∠DCO=90°，根据HL证Rt△DAO≌Rt△DCO，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）连接BF、CE、AC，由切线长定理求出DC=DA=4，求出DO=5，CM、AM的长，由勾股定理求出BC长，根据△BGC∽△EGF求出==，则CG=CF；利用勾股定理求出CF的长，则CG的长度可求得．
点评：本题考查了切线的判定和性质，切线长定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力，综合性比较强，难度偏大．