Question

在直角梯形OABC中，CB∥OA，COA=90°，OE=2EB，CB=3，OA=6，BA=3

5

，OD=5．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．求证：△ODE∽△OBC．

Answer 1

分析：此题可根据已知先过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，再由已知和勾股定理求出OB和OE，通过计算得出

OC

OE

=

OB

OD

，∠BOC为公共角，故，△ODE∽△OBC．

解答：证明：过点B作BG⊥x轴交x轴于点G，
∵CB∥OA，∠COA=90°，
又CB=3，∴OG=3，
∴GA=OA-OG=6-3=3，
又BG⊥x轴，
∴在直角三角形AGB中，
BG²=AB²-GA²=(3

5

)2-3²=36，
∴BG=6，
那么根据勾股定理得：
OB=3

5

，
由已知OE=2BE得：
OE=2

5

，BE=

5

，
由已知和BG⊥x轴得：
OC=BG=6，
∴

OC

OE

=

6

2 5

=

3 5

5

，

OB

OD

=

3 5

5

，
∴

OC

OE

=

OB

OD

，
又∠BOC=∠DOE，
∴△ODE∽△OBC．

点评：此题考查的知识点是相似三角形的判定、直角三角形的性质．解题的关键是通过作辅助线得直角三角形，由勾股定理求出OB和OE，计算得出两三角形的对应边成比例，夹角为公共角，由此得证．