题目内容

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(1)写出顶点A、B、C的坐标;
(2)如图(2),点P为AB边上的动点(P与A、B不重合),PM⊥OA,PN⊥OC,垂足分别为M,N.设PM=x,四边形OMPN的面积为y.
①求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②是否存在一点P,使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由.
分析:(1)点A的坐标,由图可直接得出;求出BC、OC的长,即可得到点B、C的坐标;
(2)①PM=x,由图得,0<x<4,由cos∠OAB=
,得到MA=
x,由矩形的面积,可求出y与x之间的函数关系式;
②根据S矩形OMPN=
S梯形OABC可得到一点;
(2)①PM=x,由图得,0<x<4,由cos∠OAB=
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②根据S矩形OMPN=
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解答:
解:(1)由图得,A(6,0),B(3,4),C(0,4),
做BD⊥OA,所以,BD=OC,BC=OD;
由OA=6,AB=5,cos∠OAB=
得,
AD=3,BD=4,
即,BC=3,OC=4;
故坐标为:A(6,0),B(3,4),C(0,4);
(2)①∵设PM=x,由图得,0<x<4,
则,AM=
x,
所以,y=(6-
x)x,
整理得,y=-
x2+6x;
故y与x之间的函数关系式是:y=-
x2+6x(0<x<4);
②由-
x2+6x=
×[(3+6)×4÷2]整理得,
x2-8x+12=0,
解得,x1=2,x2=6(舍去),
OM=6-2×
=
,
故点P的坐标为(
,2).

做BD⊥OA,所以,BD=OC,BC=OD;
由OA=6,AB=5,cos∠OAB=
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AD=3,BD=4,
即,BC=3,OC=4;
故坐标为:A(6,0),B(3,4),C(0,4);
(2)①∵设PM=x,由图得,0<x<4,
则,AM=
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所以,y=(6-
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整理得,y=-
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故y与x之间的函数关系式是:y=-
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②由-
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x2-8x+12=0,
解得,x1=2,x2=6(舍去),
OM=6-2×
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故点P的坐标为(
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点评:本题考查了直角三角形的性质、直角梯形和矩形的相关知识以及动点函数问题,根据题目中的等量关系列出二次函数,注意最后取值必须使题目有意义;此题是一个大综合题,难度较大.

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