题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（
，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，将△OCB沿OC翻折后，点B落在点D处．（1）求点C、D的坐标；
（2）求经过O、D、B三点的抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OC交于点E，点P为线段OC上一点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q．
①当四边形EDQP为等腰梯形时，求出点P的坐标；
②当四边形EDQP为平行四边形时，直接写出点P的坐标．
【答案】分析：（1）由于A、C关于x轴对称，则它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数，由此可求得C点的坐标，进而可求得OB、BC的长以及∠BOC的度数，由于△OCD是由△OCB翻折所得，故∠COD=∠COB，OB=OD，如果过D分别作x轴、y轴的垂线，设垂足为M、N，即可求得∠NOD的度数，在Rt△OND中，通过解直角三角形，即可求得点D的坐标．
（2）已求得B、D的坐标，用待定系数法求解即可．
（3）根据（2）题所得抛物线的解析式可知点D即为抛物线的顶点，那么只需DE就是抛物线的对称轴；在（1）题中求得∠OCB=∠OCD=60°，根据D点的坐标知∠DOC=∠ODM=30°，那么∠MDC=60°，即△CDE为等边三角形，由此可求得DE=OE=CE=1；
①若四边形EDQP是等腰梯形，那么点P在线段CE上，由于∠CDE=∠CED=60°，且P在CE上，若四边形EDQP是等腰梯形，那么点Q必在线段CD上，即Q为直线CD与抛物线的交点，由此可求出点Q的坐标，将其横坐标代入直线OC的解析式中，即可求得点P的坐标；
②若四边形EDQP是平行四边形，那么点P必在线段OE上，此时PQ=DE=1，而PQ为直线OC与抛物线函数值的差，由此可列出关于点P横坐标的方程，进而可求得点P的坐标．
解答：
解：（1）∵点A（
，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，
∴AC⊥x轴于B，B（
，0），C（
，-1）．
∴BC=AB=1，OB=
．
∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由题意知：∠2=∠1=30°，OD=OB=
，
∴∠NOD=30°．
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，
在Rt△OND中，DN=
OD=
，ON=
DN=
．
由矩形ONDM得：OM=DN=
．
∵点D在第四象限，
∴D（
，-
）．
（2）设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
依题意，得：
，
解得
；
∴此抛物线的解析式为：y=2x2-2
x．
（3）∵y=2x2-2
x=2（x-
）2-
，
∴点D为抛物线的顶点．
∴直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E，由题意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等边三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE=
OC=1．
①当点P1在EC上时，四边形EDQ1P1为等腰梯形．
∵DM∥y∥P1Q1，EP1与DQ1不平行，
∴四边形EDQ1P1为梯形．
要使梯形EDQ1P1为等腰梯形，只需满足∠EDQ1=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴点Q1在DC上．
由C（
，-1）、D（
，-
）求得直线CD的解析式为y=
x-2．
又∵点Q1在抛物线上，
∴2x2-2
x=
x-2，
解得x1=
，x2=
（与点D重合，舍去）；
∴点P1的横坐标为
．
由（0，0）、C（
，-1）求得直线OC的解析式为y=-
x．
∵点P1在OC上，
∴y=-
×
=-
，
即P1（
，-
）．
②当点P2在OE上时，四边形EDQ2P2为平行四边形，此时P2点坐标为P2（
，-
）．
综上所述：当P1（
，-
）时，EDQ1P1为等腰梯形；
当P2（
，-
）时，EDQ2P2为平行四边形．
点评：此题考查了关于x轴对称的点的坐标特征、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、等腰梯形及平行四边形的判定等知识，综合性强，难度偏大．
（2）已求得B、D的坐标，用待定系数法求解即可．
（3）根据（2）题所得抛物线的解析式可知点D即为抛物线的顶点，那么只需DE就是抛物线的对称轴；在（1）题中求得∠OCB=∠OCD=60°，根据D点的坐标知∠DOC=∠ODM=30°，那么∠MDC=60°，即△CDE为等边三角形，由此可求得DE=OE=CE=1；
①若四边形EDQP是等腰梯形，那么点P在线段CE上，由于∠CDE=∠CED=60°，且P在CE上，若四边形EDQP是等腰梯形，那么点Q必在线段CD上，即Q为直线CD与抛物线的交点，由此可求出点Q的坐标，将其横坐标代入直线OC的解析式中，即可求得点P的坐标；
②若四边形EDQP是平行四边形，那么点P必在线段OE上，此时PQ=DE=1，而PQ为直线OC与抛物线函数值的差，由此可列出关于点P横坐标的方程，进而可求得点P的坐标．
解答：
解：（1）∵点A（，1）关于x轴的对称点为C，AC与x轴交于点B，∴AC⊥x轴于B，B（
，0），C（，-1）．∴BC=AB=1，OB=
．∴OC=2，∠1=30°，∠3=60°，
由题意知：∠2=∠1=30°，OD=OB=
，∴∠NOD=30°．
过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，
在Rt△OND中，DN=
OD=，ON=DN=．由矩形ONDM得：OM=DN=
．∵点D在第四象限，
∴D（
，-）．（2）设经过O、D、B三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
依题意，得：
，解得
；∴此抛物线的解析式为：y=2x2-2
x．（3）∵y=2x2-2
x=2（x-）2-，∴点D为抛物线的顶点．
∴直线DM为抛物线的对称轴，交OC于E，由题意可知：∠4=∠3=60°，∠ODC=90°；
∴∠OEM=60°，
∴∠6=60°，
∴∠7=60°，
∴△EDC是等边三角形，∠8=30°．
∴CE=DE=OE=
OC=1．①当点P1在EC上时，四边形EDQ1P1为等腰梯形．
∵DM∥y∥P1Q1，EP1与DQ1不平行，
∴四边形EDQ1P1为梯形．
要使梯形EDQ1P1为等腰梯形，只需满足∠EDQ1=∠6=60°．
∵∠7=60°，
∴点Q1在DC上．
由C（
，-1）、D（，-）求得直线CD的解析式为y=x-2．又∵点Q1在抛物线上，
∴2x2-2
x=x-2，解得x1=
，x2=（与点D重合，舍去）；∴点P1的横坐标为
．由（0，0）、C（
，-1）求得直线OC的解析式为y=-x．∵点P1在OC上，
∴y=-
×=-，即P1（
，-）．②当点P2在OE上时，四边形EDQ2P2为平行四边形，此时P2点坐标为P2（
，-）．综上所述：当P1（
，-）时，EDQ1P1为等腰梯形；当P2（
，-）时，EDQ2P2为平行四边形．点评：此题考查了关于x轴对称的点的坐标特征、图形的翻折变换、二次函数解析式的确定、等腰梯形及平行四边形的判定等知识，综合性强，难度偏大．
练习册系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
（2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数
∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．