Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
（1）分别以直线AC、BC为轴，把△ABC旋转一周，得到两个不同的圆锥，求这两个圆锥的侧面积；
（2）以直线AB为轴，把△ABC旋转一周，求所得几何体的表面积．

Answer 1

分析：（1）先利用勾股定理计算出AB=10，当以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的展开图为扇形，扇形半径为10，扇形的弧长为2π×CB，然后根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积；当以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的展开图为扇形，扇形半径为10，扇形的弧长为2π×CA，然后根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积；
（2）作CD⊥AB于D，利用面积法可得到CD=

24

5

，由于以直线AB为轴，把△ABC旋转一周，所得几何体的是以CD为底面半径的两个圆锥，它的表面积就是两个圆锥的侧面积，然后根据扇形面积公式求解．

解答：解：（1）∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=

AC2+BC2

=10，
所以以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积=

1

2

×10×2π×8=80π；
以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积=

1

2

×10×2π×6=60π；
（2）作CD⊥AB于D，如图，
∵

1

2

CD•AB=

1

2

AC•BC，
∴CD=

6×8

10

=

24

5

，
以直线AB为轴，把△ABC旋转一周，所得几何体的是以CD为底面半径的两个圆锥，则它的表面积=

1

2

×6×2π×

24

5

+

1

2

×8×2π×

24

5

=

336

5

π．

点评：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式．