Question

【题目】如图，在中，，点、分别是边、的中点，延长至，使得，连接、．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）当，时，判断的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）是底角为的等腰三角形，解析解析

【解析】

（1）由“ASA“可证△AEF≌△CED，可得AF=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；

（2）由勾股定理可求AB的长，由中位线定理可求DF=DB=5，即可求解．

（1）∵AF∥CD，

∴∠EAF=∠ECD，

∵E是AC中点，

∴AE=EC，

在△AEF和△CED中，

∴△AEF≌△CED(ASA)，

∴AF=CD，

∴四边形AFCD是平行四边形，
∵∠ACB=，AD=DB，

∴CD=AD=BD，

∴四边形AFCD是菱形．

（2）∵∠ACB=，AC=，BC=5，

∴AB=

∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BC=2DE，DB=AB=5，

∵四边形AFCD是菱形，

∴DF=2DE=BC=5，

∴DF=DB，

∴△DFB是等腰三角形．