Question

等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：先根据等边三角形的性质得出△AOH≌△BOD，再得出△OHE≌△ODF，于是DF=HE从而可得CE=CF．再由∠C=60°，所以△CEF是等边三角形．

解答：解：如图：

∵△ABC是等边三角形，AD是高，BH是∠ABC的角平分线，
∴AC=BC，∠AHO=∠EHO=∠BDO=∠FDO，CD=CH，
∴AO=BO．
在△AOH与△BOD中，

∠AOH=∠BOD ∠AHO=∠BDO AO=BO

，
∴△AOH≌△BOD（AAS）．
∴OH=OD．
∵△OEF是等边三角形
∴OE=OF．
在Rt△OHE与Rt△ODF中，

OE=OF OH=OD

，
∴△OHE≌△ODF（HL）．
∴DF=HE．
又∵CD=CH，
∴CE=CF．
又∵∠C=60°，
∴△CEF是等边三角形．

点评：本题主要考查了等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质．难度适中．