题目内容

如图，一次函数y₁=mx+n的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y₂= $数学公式$ （x＜0）交于点C，过点C分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若OB=2，CF=6， $数学公式$ ．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）请直接写出当y₁＜y₂时x的取值范围．

解：（1）∵∠CEA=∠BOA=90°，∠CAE=∠BAO，
∴△CEA∽△BOA，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即AE=2OA，
又OA=2，
∴CE=2OB=4，又CF=6，
∴C坐标为（-6，4），
将C坐标代入y₂= $\text{[math]}$ 中，得：4= $\text{[math]}$ ，即k=-24，
则反比例解析式为y₂=- $\text{[math]}$ （x＜0）；
∵OB=2，即B（0，-2），C（-6，4），
将B与C坐标代入y₁=mx+n中，得： $\text{[math]}$ ，
解得： $\text{[math]}$ ，
则一次函数解析式为y₁=-x-2；

（2）由函数图象可得：当y₁＜y₂时x的取值范围为x＞-6．
分析：（1）由一对直角相等，及一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，得到三角形ACE与三角形AOB相似，由相似得比例，再由OA与OE的比值求出AE与AO的比值，得到两三角形的相似比，由OB的长求出CE的长，再由CF的长，确定出C的坐标，将C坐标代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式；将B与C坐标代入一次函数解析式中求出m与n的值，确定出一次函数解析式；
（2）由两函数交点C的横坐标，根据函数图象即可得到满足题意x的范围．
点评：此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，数形结合思想是数学中重要的思想方法，做题时注意灵活运用．