Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．已知tan∠BPD=

1

2

，CE=2，则△ABC的周长是

 

．

Answer 1

分析：过点D作DQ⊥AC于Q，可用未知数表示出QE的长，根据∠BPD（即∠EDQ）的正切值即可求出DQ的长；在Rt△ADQ中，可用QE表示出AQ的长，由勾股定理即可求得EQ、DQ、AQ的长；易证得△ADQ∽△ABC，根据得到的比例线段可求出BD、BC的表达式，进而可根据三角形周长的计算方法得到周长与CE的关系式，从而解得三角形的周长．

解答：解：过D点作DQ⊥AC于点Q．
则△DQE与△PCE相似，设AQ=a，则QE=1-a．
∴

QE

EC

=

DQ

CP

且tan∠BPD=

1

2

，
∴DQ=2（1-a）．
∵在Rt△ADQ中，据勾股定理得：AD²=AQ²+DQ²
即：1²=a²+【2（1-a）】²，
解之得a=1（不合题意，舍去），或a=

3

5

．
∵△ADQ与△ABC相似，
∴

AD

AB

=

DQ

BC

=

AQ

AC

=

3 5

1+2

=

1

5

．
∴AB=5AD=5，BC=5DQ=4，AC=5AQ=3，
∴三角形ABC的周长是：AB+BC+AC=5+4+3=12；
故答案为：12．

点评：此题主要考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识的综合应用能力，难度较大．解题时，借助于辅助线“过D点作DQ⊥AC于点Q”构建相似三角形△DQE∽△PCE、△ADQ∽△ABC．