题目内容
如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α．
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图2，G为BC中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能说明理由．
（1）300；（2）证明见解析；（3）能，1350或3150.
【解析】
试题分析：（1）根据旋转的性质得CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，则∠CD′E=300，然后根据平行线的性质即可得到∠α=300.
（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE，则∠GCD′=∠DCE′=900+α，然后根据“SAS”可判断△GCD′≌△∠DCE′，GD′=E′D.
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，则△BCD′与∠DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与∠DCD′为钝角三角形时，可计算出α=1350，当△BCD′与∠DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=3150.
（1）∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2.
在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴sinα=
．∴∠CD′E=300.
∵CD∥EF，∴∠α=300.
（2）∵G为BC中点，BC=2，∴CG=1．∴CG=CE.
∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=900，CE=CE′CE．∴∠GCD′=∠DCE′=900+α.
在△GCD′和△∠DCE′中，
∵
，∴△GCD′≌△∠DCE′（SAS）．∴GD′=E′D.
（3）能．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD.
∵CD=CD′，∴△BCD′与∠DCD′为腰相等的两等腰三角形.
当∠BCD′=∠DCD′时，△BCD′≌∠DCD.
当△BCD′与∠DCD′为钝角三角形时， 
；
当△BCD′与∠DCD′为锐角三角形时，
.
∴旋转角a的值为1350或3150时，△BCD′与∠DCD′全等.
考点：1.旋转的性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.平行线的性质；5.矩形的性质；6.正方形的性质；7.全等三角形的判定和性质；8.等腰三角形的判定和性质；9.分类思想的应用.
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