Question

9．若规定“$\root{n}{{a}^{m}}$=${a}^{\frac{m}{n}}$，m、n为整数，a^-p=$\frac{1}{{a}^{p}}$，P为实数”，且有公式“（a^s）^t=a^st，s，t为有理数，a＞0”，则当${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=3时，${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$的值是±8$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 把${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$根据立方差公式，完全平方公式变形为±$\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}+}{a}^{\frac{1}{2}}）^{2}-4}$×[（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）²-1]，再把${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=3代入计算即可求解．

解答 解：当${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$=3时，
${a}^{\frac{3}{2}}$-${a}^{-\frac{3}{2}}$
=（${a}^{\frac{1}{2}}$-${a}^{-\frac{1}{2}}$）（a+1+a^-1）
=±$\sqrt{（{a}^{\frac{1}{2}+}{a}^{\frac{1}{2}}）^{2}-4}$×[（${a}^{\frac{1}{2}}$+${a}^{-\frac{1}{2}}$）²-1]
=±$\sqrt{9-4}$×[9-1]
=±8$\sqrt{5}$
故答案为：±8$\sqrt{5}$．

点评 考查了分数指数幂，实数的运算，关键是熟练掌握立方差公式，完全平方公式．