Question

4．在平面直角坐标系中，直线y=x和直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴分别较于A，B，与y轴交于C点，点E沿着某条路径运动，以点E为旋转中心，将点C（0，1）逆时针方向旋转90°，刚好落在线AB上，则点E的运动路径长为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，由点C（0，1）逆时针方向旋转90°刚好落在线AB得出其运动路径为线段E′E″，证Rt△E″E′C∽Rt△BAC可得$\frac{E′E″}{BA}$=$\frac{E′C}{AC}$，继而可得出答案．

解答 解：如图，由题意知点E的运动路径为线段E′E″，

∵y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1中，x=0时y=1，y=0时x=$\sqrt{3}$，
∴OC=1、OA=$\sqrt{3}$，
∴BC=2，
∵E′C=E′A、E″C=E″B，
∴E′C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$、E″C=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$，
则$\frac{E′C}{AC}$=$\frac{E″C}{BC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴Rt△E″E′C∽Rt△BAC，
则$\frac{E′E″}{BA}$=$\frac{E′C}{AC}$，即$\frac{E′E″}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴E′E″=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查坐标与图形的变化及相似三角形的判定与性质，根据旋转的定义和性质得出点C的运动路径为线段E′E″及依据相似三角形的判定与性质得出其长度是解题的关键．