Question

6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P以1cm/s的速度从A开始沿着折线AB-BC运动到点C，点D在AC上，连接BD，PD，设点P的运动时间为t秒；
（1）直接写出AB的长度；
（2）把△BCD沿着BD对折，点C恰好落在AB上的点E处，求此时CD的长；
（3）若点D在（2）中的位置，当t为几秒时，△BPD为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）直接根据勾股定理求出AB的长即可；
（2）根据点C恰好落在AB上的点E处可得出△BCD≌△BED，故BC=BE，由此可得出AE的长，利用勾股定理求出DE的长即可；
（3）分∠BDP=90°与∠BED=90°两种情况进行分类讨论即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10cm；

（2）∵点C恰好落在AB上的点E处，
∴△BCD≌△BED，
∴BC=BE=6cm，CD=DE=x，
∴AE=10-6=4cm．
设CD=DE=x，则AD=8-x，
在Rt△ADE中，
∵AE²+DE²=AD²，即4²+x²=（8-x）²，解得x=3cm．
答：此时CD的长为3cm；

（3）当∠BDP=90°时，
∵CD=3cm，BC=6cm，
∴BD²=3²+6²=45cm；
过点P作PE⊥AC于点E，设AP=t，则BP=10-t，
∵PE⊥AC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{PE}{BC}$，即$\frac{AE}{8}$=$\frac{t}{10}$=$\frac{PE}{6}$，解得AE=$\frac{4}{5}$t，PE=$\frac{3}{5}$t，
∴PD=$\sqrt{{PE}^{2}+{DE}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{3}{5}t）}^{2}+{（\frac{4}{5}t）}^{2}}$=t．
∵BD²+PD²=BP²，即45+t²=（10-t）²，解得t=2.75（秒）；
当∠BPD=90°且点P在AB上时，由（1）可知，此时BP=BC=6cm，
∴AP=10-6=4cm，
∴t=4（秒）；
当∠BPD=90°且点P在BC上时，点P与点C重合，故t=AB+BC=10+6=16（秒）．
综上所述，当t=2.75秒或4秒或16秒时，△BPD为直角三角形．

点评 本题考查的是几何变换综合题，涉及到直角三角形的性质、图形翻折变换的性质及相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．