题目内容
如图，在矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3），动点M，N同时从B点出发，分别沿BA，BC方向运动，速度都是1厘米/秒，过M作直线垂直于AB，分别交AN，CD于P，Q，当点N到达终点C时，点M也随之停止运动．设运动时间为t秒．（1）若a=4厘米，t=1秒，则PM=
（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
（3）若在运动过程中，存在某个时刻使梯形PMBN与梯形PQDA的面积相等，求a的取值范围．
分析：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，又因为PM⊥BC，所以△APM∽△ANB，根据相似三角形的性质，可以求出PM的值．
（2）根据题意，作出图形，当△PNB∽△PAD时，对应边之比等于高之比，即
=
，进而可以求出时间t．
（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表达出两个梯形的面积，求出x的值，进而求出a的取值．
（2）根据题意，作出图形，当△PNB∽△PAD时，对应边之比等于高之比，即
| BN |
| AD |
| BM |
| AM |
（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，再用x表示出PM，就可以用x表达出两个梯形的面积，求出x的值，进而求出a的取值．
解答：
解：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，
∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴
=
，
即
=
，
解得，PM=
；
（2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
若△PNB∽△PAD，则
=
，即
=
，解得，t=2．
即t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为
．
（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴
=
，∴
=
，
∴PM=
，
所以由题意得，
=
，
解得x=
，所以0≤
≤3，解得0≤a≤6．
又∵a＞3，
∴a的范围是3＜a≤6．
补充：设BN=BM=x，则PM=
，
使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
∴S梯形PMBN=
S矩形BCQM
即
[
+x]•t=
•3•t，
解得t=a±
，a＞3，
∴t=a-
，
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范围是3＜a≤6．
解：（1）由题意知，当t=1秒时，BN=BM=1，∵a=4厘米，∴AM=3，
又∵PM⊥AB，
∴△APM∽△ANB，
∴
| PM |
| BN |
| AM |
| AB |
即
| PM |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
解得，PM=
| 3 |
| 4 |
（2）如图示，作出△PNB和△PAD，则BM和AM分别是它们的高，
若△PNB∽△PAD，则
| BN |
| AD |
| BM |
| AM |
| t |
| 3 |
| t |
| 5-t |
即t=2时，△PNB∽△PAD，相似比为
| 2 |
| 3 |
（3）设BN=x，则0≤x≤3，则BM=x，
由（1）知，△APM∽△ANB，∴
| PM |
| BN |
| AM |
| AB |
| PM |
| x |
| a-x |
| a |
∴PM=
| x(a-x) |
| a |
所以由题意得，
(3-
| ||
| 2 |
(
| ||
| 2 |
解得x=
| 6a |
| a+6 |
| 6a |
| a+6 |
又∵a＞3，
∴a的范围是3＜a≤6．
补充：设BN=BM=x，则PM=
| x(a-x) |
| a |
使梯形PMBN和梯形PQDN面积相等，由（3）得3＜a≤6；
若它们的面积都等于梯形PQCN的面积，
∴S梯形PMBN=
| 1 |
| 2 |
即
| 1 |
| 2 |
| x(a-x) |
| a |
| 1 |
| 2 |
解得t=a±
| a2-3a |
∴t=a-
| a2-3a |
而0≤t≤3，
∴a＞3，
所以a的范围是3＜a≤6．
点评：能够利用平行线判定相似三角形，并且利用相似的性质列出比例式是解题的关键．
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