Question

如图，已知AB∥CD，AB=CD，AD∥BC，AD=BC，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若AE⊥DE，DC=5，DE=8，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：几何图形问题,证明题

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠3，从而求出∠2=∠3，然后利用等角对等边证明即可；
（2）作EF∥CD，则F是AD的中点，易证四边形EFDC是菱形，根据勾股定理求得CF的长，然后利用菱形的面积公式即可求得菱形EFDC的面积，四边形ABCD的面积是菱形EFDC的面积的2倍，据此即可求解．

解答：（1）证明：∵DE是∠ADC的角平分线，
∴∠1=∠2，
在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°，
∴

1

2

∠BAD+

1

2

∠ADC=90°，
又∵∠1=

1

2

∠ADC，在直角△ADE中，∠EAD+∠1=90°，
∴∠EAD=

1

2

∠BAD，
即AE是∠BAD的平分线．
同（1）可得BE=AB=CD=5，
作EF∥CD，则F是AD的中点，
又∵AD∥BC，EC=CD，
∴四边形EFDC是菱形．
∴DE⊥CF，DG=

1

2

DE=4，
在直角△CDG中，CG=

CD2-DG2

=

52-42

=3．
∴CF=2CG=6，
∴菱形EFDC的面积是：

1

2

DE•CF=

1

2

×8×6=24，
∴四边形ABCD的面积是2×24=48．

点评：本题考查了菱形的判定与性质，以及等腰三角形的判定方法，正确理解四边形EFDC是菱形，边形ABCD的面积是菱形EFDC的面积的2倍是关键．