题目内容
【题目】如图1，在正方形
中，
，点
在边
上，且
，以点
为圆心，
为半径在其左侧作半圆，分别交
)于点
，交的延长线于点
．
（1）
；
（2）如图2，将半圆绕点
逆时针旋转
，点的对应点为
，点的对应点为
；设
为半圆上一点．
①当点
落在边上时，求点与线段
之间的最短距离；
②当半圆交于
两点时，若
的长为
，求此时半圆与正方形重叠部分的面积；
③当半圆与正方形的边相切时，设切点为
，直接写出
的值．
【答案】（1）
；（2）①点
到
的最短距离为
，②此时半圆
与正方形
重叠部分的面积为
；③
【解析】
（1）连接GO，根据已知条件，在△DGO中利用勾股定理即可求解；
（2）①如图，过点O'作O'H⊥BC，根据三点共线及垂线段最短可得此时MH即为点M到BC的最短距离，根据已知求得HQ、O'Q、O'M，而MH=HQ- O'Q- O'M即可求得；
②如图，根据
的长可以求出∠PO'R=60°，此时半圆
与正方形重叠部分的面积为
,即可求得答案；
③当半圆与正方形的边相切时有三种情况，分别作图，
第一种情况：当半圆与BC边相切时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN，过点E作EK⊥DN于K，再依据勾股定理以及等面积法求得EK、NK的值，进而可以求得
；
第二种情况：当半圆与AB边相切时,连接DN，如图，根据已知条件可以判断四边形ANED是矩形，进而可以求得；
第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，
不存在．
（1）连接GO，如图：
∵四边形ABCD是正方形，AB=10，
∴DC=AD=10，∠ODG=90°，
∵CE=2，DO=3，
∴OG=OE=DC-DO-CE=10-3-2=5，
∴DG=
=
4，
∴AG=AD-DG=10-4=6．
故答案为6．
（2）①如图，过点O'作O'H⊥BC于点H，交半圆O'于点M,反向延长HO交AD于
点Q，则∠QHC=90°，
根据三点共线及垂线段最短可得此时点M到BC的距离最短，
∵∠C=∠D=∠QHC=90°，
∴四边形QHCD是矩形，
∴HQ=CD=10，HQ//CD，
∵点O'是EF'的中点， 点Q是DF'的中点，
∵DE=8，
∴O'Q=
DE=4，
∴O'H=10-4=6，
∵CE=2，DO=3，
∴OE=10-2-3=5，即半圆O的半径为5，
∴MH=HQ- O'Q- O'M=10-4-5=1，
即点M到BC的最短距离为1．
②由①可知半圆O的半径为5，如图
设∠PO'R的度数为
，
由题意得： 的长为=
，
∴∠PO'R=60°，
∴∠F'O'P+∠EO'R=120°，
，
∵O'R=P O'，
∴△O'RP是等边三角形，
∴
．
∴此时半圆O'与正方形重叠部分的面积为．
③第一种情况：当半圆O'与BC相切于N时，连接O'N，，过点E作ET⊥O'N于T，连接EN，
则TN=EC=2，如图：
∵ON=O'E=5，
∴O'T=ON-TN=5-2=3
∴ CN2=TE2= O'E2- O'T2
∴ CN=TE=
=4，
∴
=
，
=
，
过点E作EK⊥DN于K，
∵
=
EK
DN=DECN，
∴EK=
=
=
，
∵
=
=
，
∴
，
∴NK=
，
∴
=
=
；
第二种情况：当半圆O'与AB相切于点N时，连接DN，如图
∵EN⊥AB，
∴四边形ANED是矩形，
∴=
=
，
第三种情况：当半圆O'与CD相切于点N时，此时点N与点E重合，不存在，
综上所述，的值为 或
．
【题目】某工厂计划招聘
两个工种的工人共120人，两个工种的工人月工资分别为3200元和4000元．
（1）若某工厂每月支付工人的工资为440000元，那么两个工种的工人各招聘多少人？设招聘
工种的工人
人，填写下表，并列方程求解；
工种 | 工人每月工资（元） | 招聘人数 | 工厂应付工人的 工资（元） |
| 3200 |
| |
| 4000 |
（2）设工厂每月支付工人的工资为
元，试写出与之间的函数表达式，若要求
工种的人数不少于工种人数的2倍，那么招聘工种的工人多少人时，可使工厂每月支付的工人工资最少？
【题目】某工厂以每千克200元的价格购进甲种原料360千克，用于生产A、B两种产品，生产1件A产品或1件B产品所需甲、乙两种原料的千克数如下表：
产品/原料 | A | B |
甲（千克） | 9 | 4 |
乙（千克） | 3 | 10 |
乙种原料的价格为每千克300元，A产品每件售价3000元，B产品每件售价4200元，现将甲种原料全部用完，设生产A产品x件，B产品m件，公司获得的总利润为y元．
（1）写出m与x的关系式；
（2）求y与x的关系式；
（3）若使用乙种原料不超过510千克，生产A种产品多少件时，公司获利最大？最大利润为多少？
