Question

11．求函数的最大值 $\left\{\begin{array}{l}{S=-{t}^{2}+6t}&{（0＜t≤2）}\\{S=-\frac{3}{4}{t}^{2}+4t+3}&{（2＜t≤3）}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 求出当0＜t≤2时，函数取得最大值为8；再求出当2＜t≤3时，函数取得最大值为$\frac{25}{3}$；从而求出函数的最大值为$\frac{25}{3}$．

解答 解：当0＜t≤2时，S=-（t²-6t）=-（t²-6t+3²-3²）=-（t²-6t+3²）+9=-（t-3）²+9，当t=2时，函数取得最大值为8；
当2＜t≤3时，S=-$\frac{3}{4}$（t²-$\frac{16}{3}$t）+3=-$\frac{3}{4}$[t²-$\frac{16}{3}$t+（$\frac{8}{3}$）²-（$\frac{8}{3}$）²]+3=-$\frac{3}{4}$（t-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{16}{3}$+3=-$\frac{3}{4}$（t-$\frac{8}{3}$）²+$\frac{25}{3}$，当t=$\frac{8}{3}$时，函数取得最大值为$\frac{25}{3}$．
故函数最大值为$\frac{25}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的最值，利用配方法分别求出二次函数最值，再求出其中最大者即为函数最大值．