题目内容

如图，已知BC为⊙O的直径，A点在圆周上，AB=6，AC=8，AE平分∠BAC，求AE的长为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$
D.
$数学公式$

B
分析：过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，求出AN=AB，求出BZ和CZ，求出AM，EZ，根据勾股定理求出AZ和EZ即可．
解答：

过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=6，AC=8，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：AC×AB=BC×AM，
∴AM=4.8，
∵BN∥AE，
∴∠N=∠CAE，∠NBA=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠N=∠NBA，
∴AB=AN，
∵BN∥AE，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
CZ= $\text{[math]}$ ，BZ=10- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴弧CE=弧BE，
∴EO⊥BC，
∵OE=OC= $\text{[math]}$ BC=5，
∴ZO= $\text{[math]}$ -5= $\text{[math]}$ ，
由勾股定理得：EZ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
在Rt△ABM中，BM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴MZ= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
在Rt△AMZ中，AZ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
∴AE=AZ+EZ= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ =7 $\text{[math]}$ ，
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线性质，平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．