题目内容
如图，已知BC为⊙O的直径，A点在圆周上，AB=6，AC=8，AE平分∠BAC，求AE的长为（ ）分析：过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，求出AN=AB，求出BZ和CZ，求出AM，EZ，根据勾股定理求出AZ和EZ即可．
解答：解：
过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=6，AC=8，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：AC×AB=BC×AM，
∴AM=4.8，
∵BN∥AE，
∴∠N=∠CAE，∠NBA=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠N=∠NBA，
∴AB=AN，
∵BN∥AE，
∴
=
，
∴
=
，
∴
=
，
CZ=
，BZ=10-
=
，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴弧CE=弧BE，
∴EO⊥BC，
∵OE=OC=
BC=5，
∴ZO=
-5=
，
由勾股定理得：EZ=
=
，
在Rt△ABM中，BM=
=
，
∴MZ=
-
=
，
在Rt△AMZ中，AZ=
=
，
∴AE=AZ+EZ=
+
=7
，
故选B．
过B作BN∥AE交CA于N，过A作AM⊥BC于M，连接OE，
∵BC为直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=6，AC=8，由勾股定理得：BC=10，
由三角形面积公式得：AC×AB=BC×AM，
∴AM=4.8，
∵BN∥AE，
∴∠N=∠CAE，∠NBA=∠BAE，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴∠N=∠NBA，
∴AB=AN，
∵BN∥AE，
∴
| AC |
| AN |
| CZ |
| BZ |
∴
| AC |
| AB |
| CZ |
| BZ |
∴
| 8 |
| 6 |
| CZ |
| 10-CZ |
CZ=
| 40 |
| 7 |
| 40 |
| 7 |
| 30 |
| 7 |
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE，
∴弧CE=弧BE，
∴EO⊥BC，
∵OE=OC=
| 1 |
| 2 |
∴ZO=
| 40 |
| 7 |
| 5 |
| 7 |
由勾股定理得：EZ=
| EO2+ZO2 |
| 25 |
| 7 |
| 2 |
在Rt△ABM中，BM=
| AB2-AM2 |
| 18 |
| 5 |
∴MZ=
| 30 |
| 7 |
| 18 |
| 5 |
| 24 |
| 35 |
在Rt△AMZ中，AZ=
| AM2+MZ2 |
| 24 |
| 7 |
| 2 |
∴AE=AZ+EZ=
| 25 |
| 7 |
| 2 |
| 24 |
| 7 |
| 2 |
| 2 |
故选B．
点评：本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线性质，平行线分线段成比例定理的应用，主要考查学生的推理能力和计算能力．
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