题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知三点A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c满足关系式|a-2|+（b-3）2=0，c=2b-a；（1）求a，b，c的值；
（2）如果再第二象限内有一点P（m，1），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积，若四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等，请求出点P的坐标；
（3）若B，A两点分别在x轴，y轴的正半轴上运动，设∠BAO的邻补角的平分线和∠ABO的邻补角的平分线相交于第一象限内一点Q，那么，点A，B在运动的过程中，∠Q的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值，若发生变化，请说明理由．
分析：（1）绝对值、完全平方均≥0而求得．（2）三角形ABC和四边形ABOP相等，从而代入m值，来求得．（3）因为角AOB为定值，把所求角度转化成角AOB，所以证明所求角度为定值．
解答：解：（1）∵|a-2|+（b-3）2=0，
∴a-2=0，b-3=0，
即a=2，b=3，
又∵c=2b-a，
∴c=2×3-2=4；
（2）由题意：S△ABC=
BC×b=
×4×3=6，
S四边形ABOP=
×AO×|m|+
×AO×|c|=
×2×|m|+
×2×3=|m|+3，
由题意S四边形ABOP=S△ABC，
∴|m|+3=6，
即m=±3，
∵点P在第二象限，
∴点P（-3，1）；
（3）∠AQB为定值．
证明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB，
∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB，
∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+
=90°+
∠AOB，
∵∠AOB大小为定值，
∴∠BAQ+∠ABQ的大小为定值，
∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ），
故∠AQB为定值．
∴a-2=0，b-3=0，
即a=2，b=3，
又∵c=2b-a，
∴c=2×3-2=4；
（2）由题意：S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
S四边形ABOP=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由题意S四边形ABOP=S△ABC，
∴|m|+3=6，
即m=±3，
∵点P在第二象限，
∴点P（-3，1）；
（3）∠AQB为定值．
证明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB，
∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB，
∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+
| 180°-∠AOB |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∵∠AOB大小为定值，
∴∠BAQ+∠ABQ的大小为定值，
∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ），
故∠AQB为定值．
点评：本题考查了坐标与图形性质，（1）从绝对值和完全平方大于等于0算起，从而得到．（2）由三角形面积和四边形面积相等着手，三角形面积很容易得到，从而得到m的值．（3）从三角形内角和为180度，并从角AOB为定值出发，从而得到所求角度为定值．
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