Question

20．已知平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不平行，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，实数x、y满足$2x\overrightarrow{a}+（5-y）\overrightarrow{b}=（3y+2）\overrightarrow{a}+3x\overrightarrow{c}$，求x、y的值．

Answer 1

分析 由平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不平行，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，实数x、y满足$2x\overrightarrow{a}+（5-y）\overrightarrow{b}=（3y+2）\overrightarrow{a}+3x\overrightarrow{c}$，可得2x$\overrightarrow{a}$+（5-y）$\overrightarrow{b}$=（3x+3y+2）$\overrightarrow{a}$+6x$\overrightarrow{b}$，继而可得方程组：$\left\{\begin{array}{l}{2x=3x+3y+2}\\{5-y=6x}\end{array}\right.$，解此方程组即可求得答案．

解答 解：∵平面向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$不平行，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$，$2x\overrightarrow{a}+（5-y）\overrightarrow{b}=（3y+2）\overrightarrow{a}+3x\overrightarrow{c}$，
∴2x$\overrightarrow{a}$+（5-y）$\overrightarrow{b}$=（3y+2）$\overrightarrow{a}$+3x（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$），
∴2x$\overrightarrow{a}$+（5-y）$\overrightarrow{b}$=（3x+3y+2）$\overrightarrow{a}$+6x$\overrightarrow{b}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2x=3x+3y+2}\\{5-y=6x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴x=1，y=-1．

点评 此题考查了平面向量的知识．注意根据题意构造方程组$\left\{\begin{array}{l}{2x=3x+3y+2}\\{5-y=6x}\end{array}\right.$是解此题的关键．