Question

矩形OABC的顶点A(-8，0)、C(0，6) ，点D是BC边上的中点，抛物线经过A、D两点，如图所示．

1.求点D关于y轴的对称点的坐标及a、b的值；

 2.在y轴上取一点P, 使PA+PD长度最短, 求点P的坐标；

 3.将抛物线向下平移,记平移后点A的对应点为，点D的对应点为，当抛物线平移到某个位置时，恰好使得点O是y轴上到两点距离之和最短的一点，求此抛物线的解析式．

 

Answer 1

 

1.（1）由矩形的性质可知：B（-8，6）

∴D（-4，6）； 点D关于y轴对称点D′（4，6）

将A（-8，0）、D（-4，6）代入，得：

；     

2.设直线AD′的解析式为，则：

    ∴     解得：      

∴直线与y轴交于点（0，4），所以点P（0，4）

3.解法1：由于OP＝4，故将抛物线向下平移4个单位时，有OA₁+OD₁最短；

      ∴  ，即此时的解析式为；

解法2：设抛物线向下平移了m个单位，则A₁（-8，-m），D₁（-4，6-m），

∴

令直线为；

∵点O为使OA₁+OD₁最短的点，∴ ∴m=4，

即将抛物线向下平移了4个单位；

∴ ，即此时的解析式为.

解析:略