Question

【题目】抛物线y＝﹣x+c交x轴于A、B两点（B在A左侧），交y轴于C，AB＝10．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在A点右侧的x轴上取点D，E为抛物线上第二象限内的点，连接DE交抛物线另外一点F，tan∠BDE＝，DF＝2EF，求E点坐标；

（3）在（2）的条件下，点G在x轴负半轴上，连接EG，EH∥AB交抛物线另外一点H，点K在第四象限的抛物线上，设DE交y轴于R，∠EHK＝∠EGD+∠ORD，当HK＝EG，求K点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+3；（2）E（﹣3，8）；（3）K（﹣11，﹣8）

【解析】

（1）先根据函数关系式求出对称轴，由AB＝10，求出点A的坐标，代入函数关系式求出c的值，即可解答；

（2）作EM⊥x轴，FN⊥x轴，FT⊥EM，得到四边形FTMN为矩形，由EM∥FN，FT∥BD．得到∠BDE＝∠EFT，所以tan∠EFT＝，设E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF），可得，由y＝﹣x2﹣x+3过点E、F，可得yE﹣yF＝m＝（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣m2+m+3），可求m的值，代入解析式可求点E坐标；

（3）作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q．再证明△EGM≌△EKR，求出点Q（﹣，0），点R（，）由待定系数法可求直线RQ的解析式为：y＝x+，设点K的坐标为（x，x+）代入抛物线解析式可得x＝﹣11，即可求解．

解：（1）由y＝﹣x2﹣x+c，

可得对称轴为x＝﹣4

∵AB＝10，

∴点A的坐标为（1，0），点B（﹣9，0）

∴﹣×12﹣×1+c＝0，

∴c＝3

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；

（2）如图2，作EM⊥x轴，垂足为点M，FN⊥x轴，垂足为点N，FT⊥EM，垂足为点T．

∴∠TMN＝∠FNM＝∠MTF＝90°，

∴四边形FTMN为矩形，

∴EM∥FN，FT∥BD．

∴∠BDE＝∠EFT，

∵tan∠BDE＝，

∴tan∠EFT＝，

设E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF）

∴，

∵y＝﹣x2﹣x+3过点E、F，

则yE﹣yF＝m＝（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣m2+m+3），

解得m＝0（舍去）或m＝1，

当m＝1时，﹣3m＝﹣3，

∴yE＝﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）+3＝8．

∴E（﹣3，8）．

（3）如图3，作EM⊥x轴，垂足为点M，过点K作KR⊥ED，与ED相交于点R，与x轴相交于点Q．

∵∠KER+∠EDH＝90°，∠EGM+∠GEM＝90°，∠EDH＝∠EGM，

∴∠KER＝∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR（AAS）

∴EM＝ER＝8，

∵tan∠BDE＝．

∴ED＝10，

∴DR＝2，

∴DQ＝，

∴Q（﹣，0），

可求R（， ）

∴直线RQ的解析式为：y＝x+，

设点K的坐标为（x，x+）代入抛物线解析式可得x＝﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．