Question

已知：如图，直线与x轴相交于点A，与直线相交于点P(2，)．

(1)请判断的形状并说明理由．

(2)动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿着O→P→A的路线向点A匀速运动(E不与点O、A重合)，过点E分别作EF⊥轴于F，EB⊥轴于B．设运动t秒时，矩形EBOF与△OPA重叠部分的面积为S．

求：① S与t之间的函数关系式．

② 当t为何值时，S最大，并求S的最大值

 

Answer 1

（1）△POA是等边三角形；

(2)①当0<t≤4时，S=，当4<t<8时，S=－+4t－8；②当t=时，S最大=．

【解析】

试题分析：（1）由两直线相交可列出方程组，求出P点坐标；

（2）将y=0代入y=﹣x+4，可求出OA=4，作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，利用tan∠POA=，可知∠POA=60°，由OP=4．可知△POA是等边三角形；

（3）①当0＜t≤4时，在Rt△EOF中，∠EOF=60°，OE=t，可以求出EF，OF，从而得到S；

②分情况讨论当0<t≤4时，t=4时，当4<t<8时，S的值，最终求出最大值．

试题解析：

△POA是等边三角形．理由：

将代入

，

∴ ，即OA=4

作PD⊥OA于D，则OD=2，PD=2，

∵ tan∠POA= ，

∴ ∠POA=60°，

∵ OP=

∴△POA是等边三角形 ；

(2)① 当0<t≤4时，如图1

在Rt△EOF中，

∵∠EOF=60°，OE=t

∴EF=t，OF=t

∴S=·OF·EF=

当4<t<8时，如图2

设EB与OP相交于点C，

易知：CE=PE=t－4，AE=8－t，

∴AF=4－，EF=(8－t)，

∴OF=OA－AF=4－(4－t)=t，

∴S=(CE+OF)·EF，

=(t－4+t)×(8－t)，

=－+4t－8 ；

② 当0<t≤4时，S=， t=4时，S最大=2

当4<t<8时，S=－+4t－8=－(t－)+

t=时，S最大=

∵>2，

∴当t=时，S最大=．

考点：一次函数综合题．