题目内容

如图，矩形OABC的边OA在x轴上，OC边在y轴上，OA=8，OC=6，过点C与对角线OB垂直的直线l，交x轴于P，
（1）求直线l的解析式及P点的坐标；
（2）若点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，直线l也随之移动，且l∥OB，设直线分矩形部分面积为y，求y与P点移动时间x的函数关系式；
（3）若点P在（2）的情况下移动的同时，直线l上有一点M，从P点出发以1单位/s的速度沿直线l向上移动，求以M为圆心，半径为1的圆与矩形四条边所在直线相切的时间x的值．

解：（1）B的坐标是（8，6），

设直线L的解析式是y=kx，则6=8k，解得：k= $\text{[math]}$ ，
则直线OB的解析式是y= $\text{[math]}$ x，
则直线l的一次项系数是：- $\text{[math]}$ ，设直线l的解析式是y=- $\text{[math]}$ x+b，
把C的坐标（0，6）代入解析式得：6=b，
则l的解析式是：y=- $\text{[math]}$ x+6，设y=0，解得：x= $\text{[math]}$ ，则P的坐标是（ $\text{[math]}$ ，0）；
（2）当P在A或A的左边时，即0≤x≤ $\text{[math]}$ 时：
点P沿x轴的正方向以1单位/s的速度移动，x秒后到F点，则FA=8- $\text{[math]}$ -x= $\text{[math]}$ ，设直线l与BC的交点是E，则BE=8-x，四边形ABEP是直角梯形，
则y= $\text{[math]}$ （AP+BE）•AB= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +8-x）×6=-6x+ $\text{[math]}$ ；

当 $\text{[math]}$ ＜x≤8时，设直线l与AB交于点M，与BC交于点N．交x轴与Q．
则AQ=x- $\text{[math]}$ ，
△OPC∽△AQM，
则 $\text{[math]}$ ，则AM= $\text{[math]}$ ，BM=6- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
BN=x，
则y= $\text{[math]}$ BN•BM= $\text{[math]}$ x× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．

当x＞8是，直线l与矩形不相交．

（3）在直角△OPC中，PC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
设M点运动x秒，则M的横坐标是： $\text{[math]}$ +x，
M的纵坐标是： $\text{[math]}$ x，则M的坐标是：（ $\text{[math]}$ +x， $\text{[math]}$ x），
当圆与OA相切时： $\text{[math]}$ x=1，解得：x= $\text{[math]}$ ；
当圆与OC相切时， $\text{[math]}$ +x=1，解得：x=- $\text{[math]}$ ，（舍去）；
当圆与AB相切时：8-（ $\text{[math]}$ +x）=1或（ $\text{[math]}$ +x）-8=1，解得：x= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ；
当圆与BC相切时，6- $\text{[math]}$ x=1或 $\text{[math]}$ x-6=1，解得：x= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先求得OB的解析式，根据直线l与OB垂直，即可求得直线l的解析式的一次项系数，再根据待定系数法即可求得直线l的解析式，求得P的坐标；
（2）分当P在A或A的左边时，即0≤x≤ $\text{[math]}$ 或当 $\text{[math]}$ ＜x≤8以及x＞8三种情况进行讨论，分别利用直角梯形的面积公式，以及直角三角形的面积公式即可求得函数解析式；
（3）首先利用时间x表示出M的坐标，然后根据圆与直线相交的条件：圆心到直线的距离等于圆的半径，分情况进行讨论，即可求得x的值．
点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，直线与圆的位置关系，正确求得M的坐标是关键．