题目内容

观察： $数学公式$ ； $数学公式$ ；
猜想： $数学公式$ =________；并通过类似的计算验证你的猜想．

5 $\text{[math]}$
分析：根据题目信息，被减数可以直接放到根号外面，减数作为被开方数．
解答：猜想： $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ．
验证如下： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5 $\text{[math]}$ ．
故答案为：5 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了二次根式的性质与化简，读懂题目信息是解题的关键．

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阅读下列材料：
关于x的方程：x+

的解是x₁=c，x2=

）的解是x₁=cx2=-

的解是x₁=c，x2=

的解是x₁=c，x2=

；…
（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程x+

(m≠0)与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．
（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：
如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：x+

24、如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，点E为CD的中点，点F在底边BC上，且∠FAE=∠DAE．
（1）请你通过观察、测量、猜想，得出∠AEF的度数；
（2）若梯形ABCD中，AD∥BC，∠C不是直角，点F在底边BC或其延长线上，如图2、图3，其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否仍然成立，若都成立，请在图2、图3中选择其中一图进行证明；若不都成立，请说明理由．

27、阅读下文，寻找规律：已知x≠1，计算：（1-x）（1+x）=1-x²，（1-x）（1+x+x²）=1-x³，（1-x）（1+x+x²+x³）=1-x⁴…
（1）观察上式，猜想：（1-x）（1+x+x²+…+xⁿ）=

．
证明你的猜想：
（2）根据你的猜想，计算：（1-2）（1+2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶）=

26、已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．
猜想：

观察以下等式，猜想第n个等式应为

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

×1×2×3；
1×2+2×3=

×2×3×4
1×2+2×3+3×4=

×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=

×4×5×6，…
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

n（n+1）（n+2）

（n为自然数）