Question

12．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于点A（1，3）和B（-3，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）点C是平面直角坐标系内一点，BC∥x轴，AD⊥BC于点D，连结AC，若AC=$\sqrt{5}$CD，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，确定出反比例函数的解析式，再把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到点B的坐标，最后把点A和点B的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；
（2）由BC∥x轴，AD⊥BC于点D，且A（1，3），B（-3，-1），得出D（1，-1），C（x，-1），CD=|x-1|，AD=4，AC=$\sqrt{5}$CD=$\sqrt{5}$|x-1|．然后在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程16+（x-1）²=5（x-1）²，解方程即可．

解答 解：（1）将A（1，3）代入反比例解析式得：k=1×3=3，
则反比例解析式为y=$\frac{3}{x}$，
将B（-3，m）代入反比例解析式得：m=-1，即B（-3，-1）．
将A与B坐标代入y=ax+b得：$\left\{\begin{array}{l}{a+b=3}\\{-3a+b=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
则一次函数解析式为y=x+2；

（2）∵BC∥x轴，AD⊥BC于点D，且A（1，3），B（-3，-1），
∴D（1，-1），C（x，-1），
∴CD=|x-1|，AD=4．
∵AC=$\sqrt{5}$CD=$\sqrt{5}$|x-1|，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，
∴AD²+CD²=AC²，
即16+（x-1）²=5（x-1）²，
解得x₁=3，x₂=-1，
∴C点的坐标为（3，-1）或（-1，-1）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，勾股定理，平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．