Question

19．如图，四边形ABHG是正方形，D，C在射线GH上，四边形ABCD是平行四边形，CF⊥BG于F，BG，AD交于点E，连HF．
（1）求证：DG=HC；
（2）求证：AD=$\sqrt{2}$HF；
（3）若EG=2，BF=3，直接写出EF的值．

Answer 1

分析 （1）只要证明GH=CD，即可推出GD=HC；
（2）只要证明△FGH∽△CGB，即可推出$\frac{FH}{BC}$=$\frac{GH}{BG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，由此即可解决问题；
（3）如图3中，连接DF，将△AGE绕点A逆时针性质90°得到△ABM．首先证明△ADF是等腰直角三角形，再证明△AFM≌△AFE，推出EF=FM，由∠MBF=90°，可得EF=FM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{F}^{2}}$，由此即可解决问题；

解答 （1）证明：如图1中，

∵四边形ABHG是正方形，
∴AB=GH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，
∴HG=CD，
∴GH-DH=CD-DH，
即DG=HC；

（2）证明：如图2中，

∵∠FGC=∠BGH，∠CFG=∠BHG=90°，
∴△CFG∽△BHG，
∴$\frac{FG}{GH}$=$\frac{GC}{BG}$，
∴$\frac{FG}{GC}$=$\frac{GH}{BG}$，∵∠FGH=∠CGB，
∴△FGH∽△CGB，
∴$\frac{FH}{BC}$=$\frac{GH}{BG}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴BC=$\sqrt{2}$FH，
∵AD=CB，
∴AD=$\sqrt{2}$FH．

（3）解：如图3中，连接DF，将△AGE绕点A逆时针性质90°得到△ABM．

∵CF⊥BG，∠FGC=45°，
∴FG=FC，∠FGD=∠FCH=45°，∵GD=HC，
∴△FGD≌△FCH，
∴FD=FH，
易证△FGA≌△GFH，
∴AF=FH=FD，
∵AD=$\sqrt{2}$FH，
∴AD=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$DF，
∴△DAF是等腰直角三角形，
∴∠FAE=45°，
∴∠MAF=∠MAB+∠BAF=∠GAE+∠BAF=45°=∠FAE，
∵AF=AF，AM=AE，
∴△AFM≌△AFE，
∴EF=FM，
∵∠ABM=∠AGE=45°，
∴∠MBF=90°，
∴EF=FM=$\sqrt{B{M}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题、学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．