Question

18．如图，正方形ABCD中，点E、F分别为边CD、AD上的点，CE=DF，AE、BF交于点H
（1）求证：AE=BF；
（2）若AB=4，CE=1，求AH的长．

Answer 1

分析 （1）由正方形的性质得出AD=CD=BC，∠BAF=∠D=90°，由SAS证明△ADE≌△BAF，得出对应边相等即可；
（2）由勾股定理求出BF，再由△ABF的面积的计算方法，即可得出AH的长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC，∠BAF=∠D=90°，
∵CE=DF，
∴DE=AF，
在△ADE和△BAF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BA}&{\;}\\{∠D=∠∠BAF}&{\;}\\{DE=AF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BAF（SAS），
∴AE=BF；
（2）解：∵AD=AB=4，DF=CE=1，
∴AF=4-1=3，
∴BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵△ABF的面积=$\frac{1}{2}$BF•AH=$\frac{1}{2}$AB•AF，
∴AH=$\frac{AB•AF}{BF}$=$\frac{4×3}{5}$=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．