Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________

Answer 1

【答案】

【解析】

由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．

解：连接FD

∵正方形ABCD的边长为4，

∴AB=BC=4，∠B=90°，

∴AC=，

当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，

∴EG的中点为D，即F与D重合，

当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，

∵D是AE的中点，F是EG的中点，

∴DF是△EAG的中位线，

∴DF∥AG，

∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，

∴∠BAG=45°，

∴∠EAG=135°，

∴∠EDF=135°，

∴∠FDA=45°，

∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，

此时CF最小，

此时CF=AG=；

故答案为：．