对于长方形OABC.AB∥OC.AO∥BC.O为平面直角坐标系的原点.OA=5.OC=3.点B在第三象限．(1)求点B的坐标,(2)如图1.若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P.且将长方形OABC的面积分为1:4两部分.求点P的坐标,(3)如图2.M为x轴负半轴上一点.且∠CBM=∠CMB.N是x轴正半轴上一动点.∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D.在点N� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．对于长方形OABC，AB∥OC，AO∥BC，O为平面直角坐标系的原点，OA=5，OC=3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图1，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标；
（3）如图2，M为x轴负半轴上一点，且∠CBM=∠CMB，N是x轴正半轴上一动点，∠MCN的平分线CD交BM的延长线于点D，在点N运动的过程中，$\frac{∠D}{∠CNM}$的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．

分析（1）根据点的坐标的意义求解；
（2）分类讨论：当点P在OA上时，设P（x，0）（x＜0），根据题意得S_△ABP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，则$\frac{1}{2}$•3•（x+5）=$\frac{1}{5}$•5•3；当点P在OC上时，设P（0，y）（y＜0），根据题意得S_△CBP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，则$\frac{1}{2}$•5•（y+3）=$\frac{1}{5}$•5•3，然后分别解方程即可得到P点坐标；
（3）延长BC至点F，如图2，由OA∥BC得∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF，利用∠CBM=∠CMB得到∠MCF=2∠CMB，过点M作ME∥CD交BC于点E，根据平行线得性质得∠EMC=∠MCD，∠D=∠BME，加上∠NCM=2∠EMC，于是可得∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM，所以∠CNM=2∠D，即有$\frac{∠D}{∠CNM}$=$\frac{1}{2}$．

解答解：（1）∵OA=5，OC=3，AB∥OC，AO∥BC，
∴B（-5，-3）；
（2）当点P在OA上时，设P（x，0）（x＜0），
∵S_△ABP：S_{四边形BCOP}=1：4，
∴S_△ABP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，
即$\frac{1}{2}$•3•（x+5）=$\frac{1}{5}$•5•3，解得x=-3，
∴P（-3，0）；
当点P在OC上时，设P（0，y）（y＜0），
∵S_△CBP：S_{四边形BPOA}=1：4，
∴S_△CBP=$\frac{1}{5}$S_矩形OABC，
即$\frac{1}{2}$•5•（y+3）=$\frac{1}{5}$•5•3，解得y=-$\frac{9}{5}$，
∴P（0，-$\frac{9}{5}$），
综上所述，P点坐标为（-3，0）或（0，-$\frac{9}{5}$）；
（3）$\frac{∠D}{∠CNM}$的值不会变化，理由如下：
延长BC至点F，如图2，
∵四边形OABC为长方形，
∴OA∥BC．
∴∠CBM=∠AMB，∠AMC=∠MCF，
∵∠CBM=∠CMB，
∴∠MCF=2∠CMB，
过点M作ME∥CD交BC于点E，
∴∠EMC=∠MCD，∠D=∠BME，
又∵CD平分∠MCN，
∴∠NCM=2∠EMC，
∴∠D=∠BME=∠CMB-∠EMC，
∠CNM=∠NCF=∠MCF-∠NCM=2∠BMC-2∠DCM=2∠D，
∴$\frac{∠D}{∠CNM}$=$\frac{1}{2}$．