Question

如图，M为线段CD上的一个动点（不与C、D重合），正方形ABCD与正方形AB′C′D′关于直线AM成轴对称，
（1）若∠DAM=x°，∠CMD′=y°，求y与x的关系式；
（2）请你探索线段B′D和BD′的关系，并说明你的理由．

Answer 1

考点：正方形的性质,轴对称的性质

专题：

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余表示出∠AMD，再根据轴对称的性质可得∠AMD′=∠AMD，然后根据平角等于180°列式整理即可得解；
（2）根据正方形的性质可得AB=AD，AB′=AD′，∠BAD=∠B′AD′=90°，根据同角的余角相等求出∠BAD′=∠B′AD，然后利用“边角边”证明△ABD′和△ADB′全等，根据全等三角形对应边相等可得B′D=BD′．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠AMD=90°-∠DAM=90°-x°，
由轴对称的性质得，∠AMD′=∠AMD=90°-x°，
∵∠AMD′+∠AMD+∠CMD′=180°，
∴90°-x°+90°-x°+y°=180°，
∴y=2x；

（2）B′D=BD′．
证明如下：在正方形ABCD与正方形AB′C′D′中，AB=AD，AB′=AD′，∠BAD=∠B′AD′=90°，
∵∠BAD′+∠DAD′=∠B′AD+∠DAD′=90°，
∴∠BAD′=∠B′AD，
在△ABD′和△ADB′中，

AB=AD ∠BAD′=∠B′AD AB′=AD′

，
∴△ABD′≌△ADB′（SAS），
∴B′D=BD′．

点评：本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质并确定出全等三角形和全等的条件是解题的关键．