Question

如图；已知H是△ABC三条高的交点，连接DF，DE，EF，求证：H是△DEF的内心．

Answer 1

分析：分别由B、D、H、F，C、D、H、E四点共圆，得∠FBH=∠FDH=∠FCH=∠FDH，DH为∠FDE的平分线．

解答：证明：在四边形BDHF中，∵∠BDH=∠BFH=90，∴B、D、H、F四点共圆，
∴∠DFH=∠DBH，
同理，A、F、H、E四点共圆，
∴∠HFE=∠HAE，
∵∠DBH和∠HAE都与C互为余角，∴∠DBH=∠HAE，即：∠DFH=∠HFE，
同理可证得：∠FEH=∠HED，
所以，点H是△DEF内角平分线的交点．
因此，H是△DEF的内心

点评：本题考查了三角形的内切圆和圆周角定理，以及确定圆的条件．