Question

已知关于x的方程：x²-（m-1）x+m-3=0．
（1）求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）若这个方程的两个实数根为x₁、x₂，且x₁²+x₁（x₂²-2）=0，则求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）先求出△=（m-3）²+4，得出无论m为什么实数时总有（m-3）²≥0，即可判断出（m-3）²+4＞0，从而得出无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；
（2）先求出x₁•x₂=m-3，x₁²=（m-1）x₁-m+3，x₂²=（m-1）x₂-m+3，再把x₁²，x₂²代入要求的式子，然后进行整理，即可得出答案．

解答：解：（1）∵△=[-（m-1）]²-4×1×（m-3）=m²-6m+13=（m-3）²+4，
∵无论m为什么实数时，总有（m-3）²≥0，
∴（m-3）²+4＞0，
∴无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；

（2）∵x₁•x₂=m-3，x₁²=（m-1）x₁-m+3，x₂²=（m-1）x₂-m+3，
∴x₁²+x₁（x₂²-2）=（m-1）x₁-m+3+x₁[（m-1）x₂-m+3-2]=x₁（m-1+mx₂-x₂-m+3-2）-m+3=x₁（mx₂-x₂）-m+3=mx₁x₂-x₁x₂-m+3=m（m-3）-（m-3）-m+3=m²-5m+6=（m-2）（m-3）=0，
∴m₁=2，m₂=3．

点评：此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及判别式，首先证明判别式是非负数解决第一问，然后利用根与系数的关系和已知条件解决第二问．