Question

如图，把一个直角三角形板放在平面直角坐标系中，直角顶点与原点O重合，另两个顶点分别落在x、y的正半轴上点A、点B处，作原点O关于直线AB的对称点O′，连接AO′，并延长AO′交y轴于点C．已知点B坐标（0，3），点C坐标（0，8）
（1）求点B与点O′之间的距离．
（2）若一次函数的图象经过点A、C，求该一次函数的表达式．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）连接OO′，O′B，由轴对称的性质可知点B在线段OO′的垂直平分线上，故O′B=OB；
（2）由（1）可知O′B=OB，故∠BO′C=′AOB=90°，再根据C（0，8），B（0，3）可得出BC的长，进而得出O′C的长，再由相似三角形的判定定理得出△BCO′∽△ACO，由相似三角形的对应边成比例可得出OA的长，进而得出A点坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式即可．

解答：解：（1）连接OO′，O′B，
∵点B坐标（0，3），
∴OB=3，
∵点O与点O′关于直线AB对称，
∴点B在线段OO′的垂直平分线上，
∴O′B=OB=3；

（2）∵由（1）知O′B=OB，
∴∠BO′C=′AOB=90°，
∵C（0，8），B（0，3），
∴BC=8-3=5，
∵O′B=3，
∴O′C=

BC2-O′B2

=

52-32

=4，
∵∠C=∠C，∠BO′C=′AOB=90°，
∴△BCO′∽△ACO，
∴

O′C

OC

=

O′B

OA

，即

4

8

=

3

OA

，解得OA=6，
∴A（6，0），
设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A（6，0），C（0，8）
∴

6k+b=0 b=8

，解得

k=- 4 3 b=8

，
∴直线AC的解析式为y=-

4

3

x+8．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，难度适中．