Question

1．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB
（1）求证：CE=CB；
（2）若DE=2，CD=3，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由切线性质得：OC⊥CD，则OC∥AD，由平行线性质和同圆半径相等可证得：∠CAD=∠OAC，所以圆周角相等，则所对的弦相等，则CE=CB；
（2）证明△DEC∽△DCA，列比例式可求AD的长，利用勾股定理求AC的长，再证明△ADC∽△ACB，得AB的长，所以半径为$\frac{13}{4}$．

解答 （1）证明：如图，连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠CAD，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠OAC，
∴∠CAD=∠OAC
∴CE=CB；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ACB，
∵∠DEC=∠B，
∴△DEC∽△CBA，
∵∠DAC=∠BAC，
∴△CBA∽△DCA，
∴△DEC∽△DCA，
∴$\frac{DE}{DC}=\frac{DC}{AD}$，
∴$\frac{2}{3}=\frac{3}{AD}$，
∴AD=$\frac{9}{2}$，
由勾股定理得：AC=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{9}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{117}{4}}$，
∵△ADC∽△ACB，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，
∴AC²=AD•AB，
∴$\frac{117}{4}$=$\frac{9}{2}$AB，
∴AB=$\frac{13}{2}$，
∴⊙O的半径为$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理等性质的应用，圆的切线垂直于过切点的半径，在圆中，常利用同圆的半径相等，并根据等边对等角证明两角相等；因此做好本题的关键是熟练掌握圆中的性质，另外还要知道在圆中常用的辅助线的作法：①连接半径，②作弦心距等．