Question

观察下列各式：
①4×1×2+1=（1+2）²；②4×2×3+1=（2+3）²；③4×3×4+1=（3+4）²…
（1）根据你观察、归纳、发现的规律，写出4×2012×2013+1可以看成哪个数的平方？
（2）试猜想第n个等式，并通过计算验证它是否成立．
（3）利用前面的规律，将4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1改写成完全平方形式．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类,完全平方式

专题：

分析：（1）根据已知的三个等式，发现规律：等式左边是序号数与比序号数大1的两个正整数积的4倍与1的和，等式右边是序号数与比序号数大1的两个正整数的和的平方，由此得出4×2012×2013+1可以看成2012与2013这两个正整数的和的平方；
（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1=（n+n+1）²=（2n+1）²，运用多项式的乘法法则计算验证即可；
（3）利用前面的规律，可知4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（

1

2

x²+x+

1

2

x²+x+1）²=（x²+2x+1）²=（x+1）⁴．

解答：解：（1）根据观察、归纳、发现的规律，得到4×2012×2013+1=（2012+2013）²=4025²；

（2）猜想第n个等式为4n（n+1）+1=（2n+1）²，理由如下：
∵左边=4n（n+1）+1=4n²+4n+1，右边=（2n+1）²=4n²+4n+1，
∴左边=右边，
∴4n（n+1）+1=（2n+1）²；

（3）利用前面的规律，可知
4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（

1

2

x²+x+

1

2

x²+x+1）²=（x²+2x+1）²=（x+1）⁴，
即4(

1

2

x2+x)(

1

2

x2+x+1)+1=（x+1）⁴．

点评：此题考查了规律型：数字的变化类与完全平方公式，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键是得出规律4n（n+1）+1=（2n+1）²．