Question

小明作出了边长为2的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积．然后分别取△A₁B₁C₁的三边中点A₂、B₂、C₂，作出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面积…，由此可得，第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是

3

49

．

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是

3

4n-1

，从而求出第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

×2²=

3

=

3

40

，
∵△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
∴面积的比是1：4，
则正△A₂B₂C₂的面积是

3

×

1

4

=

3

4

=

3

41

；
∵正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是1：4，
∴面积是

3

4

×

1

4

=

3

16

=

3

42

；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是1：4，
第n个三角形的面积是

3

4n-1

，
则第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是

3

49

，
故答案为：

3

49

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，找出题中的规律是解题的关键．