Question

如图，小明作出了边长为1的第1个正△A₁B₁C₁，算出了正△A₁B₁C₁的面积．然后分别取△A₁B₁C₁三边的中点A₂、B₂、C₂，作出了第2个正△A₂B₂C₂，算出了正△A₂B₂C₂的面积．用同样的方法，作出了第3个正△A₃B₃C₃，算出了正△A₃B₃C₃的面积…，由此可得，第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是（　　）

• A、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )9
• B、

  3

  4

  ×(

  1

  4

  )10
• C、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )9
• D、

  3

  4

  ×(

  1

  2

  )10

Answer 1

分析：根据相似三角形的性质，先求出正△A₂B₂C₂，正△A₃B₃C₃的面积，依此类推△A_nB_nC_n的面积是

3

4

（

1

4

）^n-1，从而求出第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积．

解答：解：正△A₁B₁C₁的面积是

3

4

，
而△A₂B₂C₂与△A₁B₁C₁相似，并且相似比是1：2，
则面积的比是

1

4

，则正△A₂B₂C₂的面积是

3

4

×

1

4

；
因而正△A₃B₃C₃与正△A₂B₂C₂的面积的比也是

1

4

，面积是

3

4

（

1

4

）²；
依此类推△A_nB_nC_n与△A_n-1B_n-1C_n-1的面积的比是

1

4

，第n个三角形的面积是

3

4

（

1

4

）^n-1．
所以第10个正△A₁₀B₁₀C₁₀的面积是

3

4

×(

1

4

)9，
故选A．

点评：本题考查了相似三角形的性质及应用，相似三角形面积的比等于相似比的平方，找出规律是关键．