Question

已知：如图（1），在等腰直角△ACD中，∠ACD=90°，直线MN是经过点A的直线，作DB⊥MN，垂足是点B．
（1）求证：BD+AB=

2

CB；
（2）当MN绕点A旋转到如图（2）的位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式？请写出你的猜想，并给予证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）过点C作CE⊥CB交MN于E，先证△ACE≌△DCB，得出△ECB是等腰直角三角形，进而得出BE=

2

CB，又因为BE=AE+AB，即可求得．
（2）过点C作CE⊥CB交MN于E，先证△ACE≌△DCB，得出△ECB是等腰直角三角形，进而得出BE=

2

CB，又因为BE=AB-AE=AB-BD，即可求得．

解答：解：（1）如图（1），过点C作CE⊥CB交MN于E，
∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵四边形ACDB的内角和为360°，
∴∠BCD+∠CAB=180°
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴∠EAC=∠BDC，
在△ACE与△DCB中，

AC=DC ∠EAC=∠BDC ∠BCD=∠ACE

，
∴△ACE≌△DCB（AAS）
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB，
又∵BE=AE+AB，
∴BE=BD+AB，
∴BD+AB=

2

CB．

（2）如图（2）猜想：AB-BD=

2

CB，
证明：过C点作CE⊥CB交MN于E，
∵∠ACD=90°，∠ACE=90°-∠DCE，∠BCD=90°-∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠D=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
在△ACE与△DCB中，

∠BCD=∠ACE ∠CAE=∠D AC=DC

，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB是等腰直角三角形，
∴BE=

2

CB，
又∵BE=AB-AE，
∴BE=AB-BD，
∴AB-BD=

2

CB．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的内角和等．