Question

已知关于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若方程mx²+（3m+1）x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式

专题：证明题

分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程变形一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，方程为一元二次方程，再进行判别式得到△=（3m-1）²，易得△≥0，故判别式的意义得到方程有两个实数根，然后综合两种情况得到不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）先利用求根公式得到x₁=-3，x₂=-

1

m

，再利用方程有两个不同的整数根，且m为正整数和整数的整除性易得m=1．

解答：（1）证明：当m=0时，方程变形为x+3=0，解得x=-3；
当m≠0时，△=（3m+1）²-4m•3=9m²-6m+1=（3m-1）²，
∵（3m-1）²，≥0，即△≥0，
∴此时方程有两个实数根，
所以不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）解：根据题意得m≠0且△=（3m+1）²-4m•3=（3m-1）²＞0，
x=

-(3m+1)±(3m-1)

2m

，
所以x₁=-3，x₂=-

1

m

，
∵方程有两个不同的整数根，且m为正整数，
∴m=1．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．