Question

已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．

(1)点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O(如图1)，求证：△AOE∽△COF；

(2)若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G(如图2)，求证：四边形EFDG是菱形．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：∵点E是BC的中点，BC＝2AD 　　∴EC＝BE＝BC＝AD；又∵AD∥DC 　　∴四边形AECD为平行四边形　2分 　　∴AE∥DC；∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO 　　∴△AOE∽△COF　4分 　　(2)证明：连接DE 　　∵DE平行且等于BE 　　∴四边形ABED是平行四边形 　　又∠ABE＝90°∴□ABED是矩形 　　∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE　6分 　　∴E、F分别是BC、CD的中点 　　∴EF、GE是△CBD的两条中线 　　∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF　8分 　　又GE＝GD∴EF＝GD＝GE＝DF 　　∴四边形EFDG是菱形　10分