Question

如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）。

（1）若m=n时，如图1，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图2，试问边OB上是否还存在点E，使得EF=AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由。
（3）若m=tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得 EF=（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标。

Answer 1

解：（1）由题意得m=n时，AOBC是正方形。 在OA上取点G，使AG = BE；
（2）假设存在点E，使EF=AE，设E（a，0）， 作FH⊥x轴于H， 如图，由（1）知∠EAO=∠FEH， 于是Rt△AOE≌Rt△EHF，  ∴ FH=OE，EH=OA， ∴ 点F的纵坐标为a，即FH=a， 由BF是外角平分线，知∠FBH = 45°， ∴BH=FH=a， 又由C（m，n）有OB=m， ∴BE=OB-OE=m-a， ∴EH=m-a+a=m，  又EH=OA=n， ∴m=n，这与已知m≠n相矛盾， 因此在边OB上不存在点E，使EF=AE成立。
（3））如（2）图，设E（a，0），FH=h， 则EH=OH-OE=h+m-a， 由∠AEF=90°，∠EAO=∠FEH， 得 △AOE∽△EHF，  ∴EF=（t + 1）AE等价于FH=（t + 1）OE， 即h=（t + 1）a， 且，即， 整理得nh=ah+am-a2， ∴， 把h=（t + 1）a 代入得， 即 m-a=（t + 1）（n-a）， 而m=tn，因此tn-a=（t + 1）（n-a）， 化简得ta=n， 解得， ∵ t＞1， ∴ <n<m，故E在OB边上， ∴当E在OB边上且离原点距离为处时满足条件，此时E（，0）。