Question

【题目】如图（1），在中，，，为边上任意一点，为边一动点，分别以为边作等边三角形和等边三角形，连接.

（1）试探索与的位置关系，并证明；

（2）如图（2）当为延长线上任意一点时，（1）中的结论是否成立？请说明理由；

（3）如图（3）在中，，，为延长线上一点，为边一动点，分别以为边作等腰三角形和等腰三角形，使得，连接.要使（1）中的结论依然成立，还需要添加怎样的条件？为什么？

Answer 1

【答案】（1），见解析；（2）成立，，见解析；（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是，见解析.

【解析】

（1）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；
（2）通过等边三角形的性质（三条边相等、三个角相等）求得PF=PC，PE=PQ，∠EPF=∠QPC；然后根据全等三角形的判定定理SAS证明△PFE≌△PCQ，再根据全等三角形的性质（对应角相等）知∠EPF=∠QPC=90°；接下来由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）知PF∥AB；最后由平行线的性质（两平行线中，有一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线）知EF⊥AB；
（3）需要添加的条件需满足：（内错角相等，两直线平行）．

（1），证明如下：

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴

在和中

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴

（2）成立，，理由如下：

∵和都是等边三角形，

∴，

∴，

∴，

在和中

∴

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴.

（3）要使（1）中的结论依然成立，还需要添加的条件是，理由如下：

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴.