Question

如图∠PAC=30°在射线AC上顺次截取AD=3cm，DB=10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F，再以O为坐标原点，AC所在直线为x轴，建立如图所示的坐标系．
（1）求圆心O到射线AP的距离；
（2）将射线AP向左平移多少个单位与⊙O相切？并求切点的坐标．

Answer 1

分析：（1）作OG⊥AP于点G，在直角△AOG中利用直角三角形的性质求得OG即可；
（2）当A移动到A′时与圆相切，切点是M．连接OM，作MN⊥x轴于点N，再利用三角函数求得OA′的长，则平移的距离即可求解；在直角△A′MN中求得A′N，和MN，解求得ON的长，则M的坐标可以求得．

解答：解：（1）作OG⊥AP于点G．
∵在直角△AOG中，∠PAC=30°，OA=AD+OD=AD+

1

2

BD=8，
∴OG=

1

2

OA=4cm，
即圆心O到射线AP的距离是4cm；

（2）当A移动到A′时与圆相切，切点是M．连接OM，作MN⊥x轴于点N．
则∠AMO=90°，OM=5cm，
∵在直角△A′OM中，∠MA′O=30°
∴OA′=2OM=10cm，A′M=OA′•cos30°=5

3

cm．
∴AA′=OA′-OA=10-8=2cm．即将射线AP向左平移2个单位长度．
在直角△A′MN中，MN=A′M•sin30°=

5 3

2

（cm），
A′N=A′M•cos30°=5

3

×

3

2

=

15

2

（cm），
∴ON=OA′-A′N=10-

15

2

=2.5（cm）．
故M的坐标是（2.5，

5 3

2

）．

点评：本题考查了三角函数以及切线的性质，正确求得A′N的长度是关键．