Question

直线y=x-2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）首先求出点A，点C的坐标；然后利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）AC为定值，当DE最大时，△ACD的面积最大，因此只需要求出△ACD面积的最大值即可．如解答图所示，作辅助线，利用S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG求出S_△ACD的表达式，然后利用二次函数的性质求出最大值，并进而求出点D的坐标和DE的最大值．
解答：解：（1）在直线解析式y=x-2中，令x=0，得y=-2；令y=0，得x=4，
∴A（4，0），C（0，-2）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵点A（4，0），B（1，0），C（0，-2）在抛物线上，
∴，
解得a=，b=，c=-2．
∴抛物线的解析式为：y=x²+x-2．

（2）设点D坐标为（x，y），则y=x²+x-2．
在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，由勾股定理得：AC=．
如答图1所示，连接CD、AD．
过点D作DF⊥y轴于点F，过点A作AG⊥FD交FD的延长线于点G，
则FD=x，DG=4-x，OF=AG=y，FC=y+2．

S_△ACD=S_梯形AGFC-S_△CDF-S_△ADG=（AG+FC）•FG-FC•FD-DG•AG=（y+y+2）×4-（y+2）•x-（4-x）•y
=2y-x-4
将y=x²+x-2代入得：S_△ACD=2y-x-4=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴当x=2时，△ACD的面积最大，最大值为4．
当x=2时，y=1，∴D（2，1）．
∵S_△ACD=AC•DE，AC=，
∴当△ACD的面积最大时，高DE最大，
则DE的最大值为：==．
∴当D与直线AC的距离DE最大时，点D的坐标为（2，1），最大距离为．
点评：本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、最值、图形面积计算等知识点，难度不大．第（2）问有多种解法，同学们可以从不同角度尝试与探究．