Question

如图，在平面直角坐标系中，梯形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别为A（-3，0），B（15，0），D（0，4），且CD=10．一条抛物线经过C、D两点，其顶点M在x轴上，点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动，到点D后又以每秒3个单位的速度沿DC向点C运动，到点C停止；同时，点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动，到点O停止．过点E作y轴的平行线，交边BC或CD于点Q，交抛物线于点R．设P、E两点运动的时间为t（秒）．
（1）写出点M的坐标，并求这条抛物线的解析式．
（2）当点Q和点R之间的距离为8时，求t的值．
（3）直接写出使△MPQ成为直角三角形时t值的个数．
（4）设P、Q两点之间的距离为d，当2≤d≤7时，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）首先求得C的坐标，则M的坐标即可求得，利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）首先求得直线BC的解析式，当Q和点R之间的距离为8时，PQ一定在C点的右侧，则根据Q和点R之间的距离为8，即可得到一个关于x的方程，求得x的值，即E点的横坐标，则BE即可求得，从而求得时间t；
（3））△MDC是等腰三角形，且是钝角三角形，∠DMC是钝角，且P和Q同时分别到达D和C，因而△MPQ的顶点P，Q在CD上移动时，三角形的三个角都可能是直角；
（4）首先判断当当2≤d≤7时，P，Q都在线段CD上，即可列不等式组求解．

解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AB∥CD，D的坐标是（0，4），CD=10，
∴C的坐标是（10，4），
∴M的坐标是（5，0），
设抛物线的解析式是：y=a（x-5）²，把（0，4）代入得：25a=4，解得：a=

4

25

，
则抛物线的解析式是：y=

4

25

（x-5）²；
（2）设直线BC的解析式是y=kx+b，根据题意得：

15k+b=0 10k+b=4

，解得：

k=- 4 5 b=12

，则直线的解析式是：y=-

4

5

x+12，
根据题意得：

4

25

（x-5）²-（-

4

5

x+12）=8，解得：x=

5±5 17

2

（x=

5-5 17

2

＜0，故舍去），
则x=

5+5 17

2

．即OE=

5+5 17

2

，BE=OB-OE=15-

5+5 17

2

=

25-5 17

2

，则t=

BE

5

=

5- 17

2

；
（3）△MDC是等腰三角形，且是钝角三角形，∠DMC是钝角，且P和Q同时分别到达D和C．
因而△MPQ的顶点P，Q在CD上移动时，三角形的三个角都可能是直角，成为直角三角形；
点Q到达点D停止，但点P还在运动，还会出现一个直角三角形，故t的值有4个；
（4）作CF⊥AB于F．
则BF=5，
在直角△AOD中，AD=

OA2+OD2

=

32+42

=5，
∵点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿AD向点D运动，点E从点B出发以每秒5个单位的速度沿BO运动．
∴P从A到D，以及E由B到F，即Q到达C，都需要1秒．
∵CD=10＞7，
∴当2≤d≤7时，P，Q都在线段CD上．
设经过x秒，P、Q相遇，则3（x-1）+5（x-1）=10，解得：x=

9

4

，
设经过t秒，P、Q两点之间的距离为d，且2≤d≤7，当P、Q相遇以前时：则PQ=10-3（t-1）-5（t-1）=18-8t，
则2≤18-8t≤7，
解得：

11

8

≤t≤2．
相遇以后，即t≥

9

4

时：PQ=3（t-

9

4

）+5（t-

9

4

）=8t-18，则2≤8t-18≤7，当3（t-1）=7时，t=

10

3

解得：

5

2

≤t≤

10

3

．
总之，t的取值范围是：

11

8

≤t≤2或

5

2

≤t≤

10

3

．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及方程与不等式组的应用，正确判断当2≤d≤7时，P，Q都在线段CD上是关键．