Question

如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若∠BAC=60°，CE=3，则⊙O的半径是多少？

Answer 1

（1）证明：如图，连接OD，
∵AO=BO，BD=CD，
∴OD为△ACB的中位线，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
又∴BD=CD，
∴△ABC为等腰三角形，
∵∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠C=60°，AB=BC，
∴∠CDE=30°，
在Rt△CED中，
∵CE=3，∠CDE=30°，
∴CD=BD=6，
∴AB=12，
∴AO=6，即⊙O的半径等于6．
分析：（1）证明：连接OD，由AO=BO，BD=CD得OD为△ACB的中位线，根据三角形中位线的性质得OD∥AC，根据平行线的性质由DE⊥AC得到DE⊥OD，于是根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）由AB为⊙O的直径得到∠ADB=90°，则可判断△ABC为等腰三角形，而∠BAC=60°，所以△ABC为等边三角形，所以∠C=60°，AB=BC，在Rt△CED中，利用含30度的直角三角形三边的关系得到CD=BD=6，则AB=12，于是有AO=6．
点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．